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La serie Fibonacci

enero 23, 2008

Es una serie infinita que comienza como 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…etc., de tal manera que la suma de dos números consecutivos constituyen el número que ocupa la posición siguiente en la serie. En otro lugar habíamos visto que el cociente entre dos números consecutivos de la serie Fibonacci converge rápidamente en el número áureo: 1, 618033…, ahora es tiempo para destacar algunas propiedades de la misma que te permitirán realizar ciertos cálculos mentales más rápidamente. Así, la suma de los productos de una serie de números Fibonacci siempre es igual al cuadrado del último número. Por ejemplo, la suma de los primeros productos es 1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 5 + 5 x 8 = 64 = 82. Comprueba, si quieres, que esto es válido para la suma de cualesquiera productos consecutivos de la serie. La suma de todos los números de la secuencia Fibonacci desde el primero hasta aquel que se encuentre en una posición cualquiera n es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos 1. Esto significa que uno puede pedirle a alguien que escriba una serie de números Fibonacci que empiece en el uno y que sea tan larga como se desee, que escriba con la ayuda de una calculadora hasta aburrirse, que cuando termine podrás sumar todos los números prácticamente con un vistazo. Por ejemplo, para los diez primeros números de la serie 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, que es lo mismo que restarle uno al número que está dos posiciones después del 55. Es decir, 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144; 144 – 1 = 143. De nuevo, sólo es necesario hacer dos sumas de dos términos, que te permitirán calcular los dos números siguientes, y después restar la unidad para obtener la suma total de una serie Fibonacci que puede tener tantos términos como se quiera. Esta es una herramienta fantástica, pues considera que los números de este tipo de secuencia se incrementan rápidamente. Pero he aquí que uno puede adivinar todavía más. La suma de diez números cualesquiera consecutivos de la serie es siempre divisible por once, y no sólo eso, sino que es siempre igual a once veces el séptimo número. Por ejemplo, la suma de los diez primeros es 143 que es igual a 13 x 11. A quien le guste jugar con números que compruebe lo que viene. Resulta que el dígito de la unidad en números Fibonacci se repite cada 60 posiciones. Así por ejemplo, en la posición 2 se encuentra el número 1, luego el siguiente número en la serie que termine por uno no se encuentra hasta la posición 62 (el número es 4.052.739.537.881), el siguiente está en la posición 122, el siguiente en la 182, etc. Análogamente, se repiten los dos últimos dígitos con una periodicidad de 300 posiciones, los tres últimos lo hacen con una periodicidad de 1.500, la periodicidad es de 15.000 para los cuatro últimos, y de 150.000 para los cinco últimos dígitos. Cada 1.500.000 se repiten dos Fibonacci con las mismas seis últimas cifras…. ¡Uf!, olvida lo de comprobar esto delante de alguien o el que terminará embobado será tu psiquiatra.

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